El arte de contar todas las posibilidades sin tener que enumerarlas una por una.
Empezar a ContarLa combinatoria es el estudio de las formas de agrupar y ordenar elementos de un conjunto. La pregunta clave que siempre debes hacerte es: ¿El orden en que elijo los elementos importa? La respuesta a esta pregunta define qué herramienta debes usar.
Se usan cuando SÍ importa el orden y no se usan todos los elementos disponibles. Elegir un primer, segundo y tercer lugar en una carrera es un arreglo.
Analogía: Crear una contraseña de 3 dígitos diferentes usando los números del 0 al 9. La clave '123' es diferente de '321'.
Fórmula: $$V_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$$
Son un caso especial de los arreglos donde SÍ importa el orden y se usan TODOS los elementos disponibles.
Analogía: Las diferentes formas en que puedes ordenar 5 libros en una estantería. Cada orden es una permutación distinta.
Fórmula: $$P_{n} = n!$$
Se usan cuando NO importa el orden. Solo nos interesa qué elementos elegimos, no en qué secuencia.
Analogía: Elegir 3 ingredientes para una pizza de una lista de 10. Una pizza con "queso, jamón y piña" es la misma que con "piña, queso y jamón".
Fórmula: $$C_{n,k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$
Experimenta con los números. Define el tamaño de tu conjunto ($n$) y cuántos elementos quieres elegir ($k$), y calcula al instante el resultado para cada tipo de problema combinatorio.
Nota: $k$ no puede ser mayor que $n$. El factorial está limitado a $\approx 170!$.
$V_{10,3}$
720
$P_{10}$
3,628,800
$C_{10,3}$
120
El arte de contar es la base de la seguridad informática, la logística e incluso la biología.
La seguridad de una contraseña depende del número de arreglos posibles de caracteres. A mayor número, más difícil es de adivinar.
La probabilidad de ganar la lotería se calcula usando combinaciones, ya que no importa el orden en que salen los números, solo cuáles son.
Las posibles combinaciones de genes que un hijo puede heredar de sus padres son un problema combinatorio que explica la diversidad genética.
¿Sabes qué herramienta usar? Demuéstralo.